Khảo sát hàm số và những chú ý ‎ khi thực hiện

Thực ra trong những kỳ thi, dù cho đó là kỳ thi tuyển sinh đại học, tốt nghiệp trung học phổ thông hay thậm chí là kiểm tra học kỳ. Tất cả chúng ta đều bắt gặp loại toán khảo sát hàm số. Nó được xem như là một phần cho điểm các em khi chúng ta thực hiện. Đôi khi nó dễ đến nổi mà tất cả chúng ta đều coi thường nó, xem nó như là một điều hiển nhiên khi làm bài. Tuy nhiên cái gì cũng có hai mặt của nó. Xét về tinh thần là như vậy, nhưng khi thực hiện nếu mắc lỗi dù là nhỏ nhất thì làm cho chúng ta điên đảo không nói thành lời. Do đó dựa trên kinh nghiệm hiện có của mình cộng với những câu hỏi mà tôi đã tích góp từ nhiều năm đi dạy của các em học sinh. Tôi cũng thực hiện một bài đăng dạng này để giúp chúng ta có thể hiểu được những chú ý khi thực hiện.

Chung quy lại đối với chương trình toán trung học phổ thông. Thì chúng ta chỉ xoay quanh ba hàm chính. Đó là: hàm số bậc ba, hàm số bậc bốn và hàm số phân thức. Mỗi loại hàm lại có những đồ thị và kết quả khác nhau. Nhưng nó lại ứng cho chúng ta những bước thực hiện tương tự nhau.

Đã nói đến khảo sát hàm số, cho dù là hàm số nào đi nữa, chúng ta phải thực hiện được các thành phần. Tìm tập xác định, biến thiên, cực trị của hàm số, giới hạn, tiệm cận, bảng biến thiên và đồ thị của hàm số khảo sát.

Đó là những thành phần không thể thiếu đối với tất cả những bài toán khảo sát hàm số. Những mục trên chúng tôi chỉ nói đến những khả năng sai sót của vần đề mà không trình bày cụ thể như trong sách “Khảo sát hàm số và ứng dụng”.

Thứ nhất:

+ Đối với hàm số bậc ba, có thể có hai cực trị hoặc không có cực trị nào, nó phụ thuộc vào phương trình y’=0 có bao nhiêu nghiệm. Tôi phải chú ‎ ý điều này, bởi theo thói quen các em khi giải phương trình y’=0 là cứ cho ra hai nghiệm. Điều này lại cực kỳ nguy hiểm bởi các loại máy tính bỏ túi bây giờ nó đều cho ra hai nghiệm cả. Rồi từ đó chúng ta ghi vào là hoàn toàn sai.

 Đồ thị hàm số bậc ba không có cực trị và nghịch biến

Hơn nữa khi hàm số bậc ba không có cực trị thì bảng biến thiên của nó hoàn toàn là đồng biến hoặc nghịch biến. Có thể đồ thị của hàm số loại này nó không đẹp, nhưng nó lại rất lạ so với hầu hết chúng ta. Do đó đây là chú ‎ đầu tiên mà chúng ta cần phân biệt và cẩn thận.

+ Đối với hàm số bậc bốn cũng vậy. Hàm số bậc bốn có thể có ba cực trị hoặc có một cực trị và luôn luôn có một cực trị nằm trên trục tung. Khi hàm số bậc bốn có một cực trị thì đồ thị của nó trở thành Parabol. Dĩ nhiên nó cũng khá lạ so với hầu hết chúng ta. 

Đồ thị hàm số bậc bốn có ba cực trị

Đồ thị hàm số bậc bốn có một cực trị

+ Đối với hàm số phân thức thì nó không có cực trị mà thêm vào đó quan trọng là tiệm cận. Nó luôn có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang như chúng ta điều biết. Và hàm số này có thể đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. Khi vẽ đồ thị của nó các em tuyệt đối không được để đồ thị cắt các đường tiệm cận mà chỉ áp sát mà thôi. Nếu đồ thị cắt tiệm cận thì giám khảo có thể quy vào tội sai cơ bản. 

                                             Đồ thị hàm số phân thức

Thứ hai:

Đối với dáng của đồ thị hàm số phải có dáng trùng với dáng của bảng biến thiên. Bởi trong bài toán khảo sát hàm số thì tất cả đều có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Nó thực sự hữu ích khi chúng ta biết được để tự mình kiểm tra xem có đúng hay không. Điều này đôi khi ngược lại thì cũng phải xem nó sai ở chổ nảo.

Thứ ba:

Không được tô đồ thi thành nhiều đường, chỉ được phép vẽ một đường. Do trong chương trình toán nếu các em đồ nó thì nó sẽ trở thành miền biểu diễn chứ không phải là đồ thị hàm số đa thức đơn thuần.

Thứ tư:

Các điểm cực trị đồ thì phải là đường tròn chứ không được vẽ nhọn. Rất nhiều học sinh khi vẽ lại phạm vào lỗi này. Thực tế thì thủ thuật của nó cũng khá đơn giản khi vẽ. Các em có tâm lý kéo đồ thị sao cho đến cực trị là đường thẳng. Điều này sai làm ở chổ đồ thị là đường cong, hơn nữa nó tiến rất nhanh trên đồ thị. Do đó, không vội khi kéo đến như vậy nó sẽ làm cho đồ thị của các em có thể bị “ốm”. Do đó việc vẽ để được một đồ thị hàm số đẹp cũng gậy thiện cảm đối với người chấm. Vì trong quá trình chấm thì phần này là quan trọng nhất.

Thứ năm:

Khi vẽ các điểm đặc biệt của đồ thị hàm số thì chúng ta cũng phải nhờ đến máy tính bỏ túi để lập bảng giá trị. Nó cực kỳ hữu ích cho việc chúng ta có thể lập bảng để tính chính xác một lần nữa. Việc lập bảng trong máy tính bỏ túi thầy sẽ thực hiện một Video tutorial sau. Cũng có em hỏi có cần phải chỉ ra đồ thị giao trục tung và giao trục hoành hay không. Câu trả lời là có được mà không có cũng được. Vì nó cũng chỉ là điểm đặc biệt mà ta tính thôi. Điều quan trọng là chúng ta chọn số điểm đặc biệt cho phù hợp. Không thiếu cũng không thừa.

Thứ sáu:

Sau khi thực hiện được tất cả các bước lúc nào chúng ta cũng kết luận một câu ở cuối cùng.

+ Đối với hàm số bậc ba: “Đồ thị nhận điểm I(a,b) làm tâm đối xứng”   (với a là nghiệm của phương trình y''=0)

+ Đối với hàm số bậc bốn: “Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng”

+ Đối với hàm phân thức: “Đồ thị nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng”

Lời kết: Tất cả những chú ý đều được trình bày bởi những trường hợp mắc phải. Qúy thầy cô giáo và các em học sinh có thể bình luận để cùng xây dựng.

Tất cả những hình ảnh đều được sử dụng từ quyển sách của thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn