Hệ phương trình- Nơi thể hiện đẳng cấp

Quả đúng như dự đoán của rất nhiều người, rất nhiều trường và rất nhiều đề thi thử tuyển sinh đại học. Kỳ thi tuyển sinh đại học năm 2014 của khổi A và B xuất hiện các bài toán hệ phương trình khó xơi nhất. Bỏ qua những lời bình luận và những câu hỏi tại sao lại bố trí câu hệ phương trình lại khó đến như vậy. Trong bài đăng này, thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn chỉ đưa ra cho chúng ta những điều mà chúng ta thường gặp phải khi giải hệ phương trình. Và hướng tiếp theo để chúng ta chinh phục câu hệ phương trình trong kỳ thi tuyển sinh đại học tiếp theo.

Thứ nhất: Hệ phương trình chứa quá nhiều nội dung cũng như phương pháp sơ cấp.

Quả đúng như vậy, nói thì dễ kể ra những phương pháp khi giải hệ phương trình nhưng cách nhìn nhận và thực hiện được mới là điều đáng bàn. Chung quy lại tôi thường nói học sinh “Chúng ta có bốn phương pháp chính để giải hệ phương trình”. Không nhiều hơn, bởi khi dạy và học hệ phương trình biết chia dạng nó ra như thế nào cho hợp lý? Rất nhiều phương pháp được quy tụ lại trong cách giải hệ phương trình trong đề thi tuyển sinh đại học. Từ đơn giản đến phức tạp thì hầu như đều gặp cả. Điều đó cho thấy sự quan tâm đặc biệt của những em học sinh khá giỏi về hệ phương trình trong năm qua.

Trong quyển sách “Luyện thi đại học- Hệ phương trình” của thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn cũng đáp ứng được nhu cầu mong mỏi này. Thông qua lượt tải gần 8.000 lượt và được hưởng ứng nhiệt tình. Ở trong đó, tôi cũng đã chia cách giải hệ phương trình thành bốn dạng chính đi kèm với bốn phương pháp chính.

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp biến thiên hàm số

Dạng 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá

Chia thì chia như vậy, thấy thì đơn giản như vậy. Nhưng tại sao lại khó đến mức không tưởng như thế. Thầy lấy thí dụ như ở dạng 1 thầy chia bằng phương pháp thế thôi cũng đủ thấy phức tạp đến chừng nào. Ở dạng đó trong phương pháp thầy có nói. Từ phương trình (1) hoặc phương trình (2) của hệ phương trình ta rút x theo y, hoặc y theo x để thay vào phương trình còn lại để giải. Chỉ tính riêng phần rút x theo y, hoặc y theo x cũng là một điều không đơn giản đối với các em học sinh trung bình-khá. Bởi một phương trình đơn giản bậc hai sơ cấp đối với x và y thì có thể đơn giản. Nhưng bậc ba thì xem như nhìn nhận ra được nhân tử chung cũng là một điều bất bình thường. Huống chi đây là bước đệm nhỏ nhất trong quá trình giải. Mà điều này thì có thể chỉ xảy ra với những một phương trình sơ cấp, chớ còn có căn thức vào đó nữa thì cũng vã mồ hôi.

Thôi xem “trúng tủ” để vượt qua của ải nhỏ này đi nếu luyện tập lỹ lưỡng. Rồi đến việc thế vào phương trình còn lại của hệ để giải cũng được xem như chuyện không tưởng. Tất nhiên là không có chuyện thế vào để giải bình thường như những phương trình sơ cấp. Mà tất cả đều đưa về cho chúng ta phương trình vô tỉ(tức là phương trình có chứa căn thức). 

 Ví dụ đề thi tuyển sinh đại học khối A-2014

 

 Và đây là cách giải đề thi tuyển sinh đại học khối A-2014

 Như vậy một lần nữa chúng ta phải chạm phải một chuyên đề cũng không hề dễ. Phương trình vô tỉ này rất khó nhìn và cũng rất khó phân tích. Gần như những kỳ tuyển sinh đại học gần đây đều kết hợp đồng thời hai phương pháp. Đó là phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và phương pháp nhân thêm lượng liên hợp để giải. Mà đôi khi còn phải dùng đến phương pháp biến thiên hàm số hoặc phương pháp đánh giá nữa. Như vậy thì độ khó càng tăng thêm gấp bội lần.

Thứ hai: Kiến thức đã từ lâu, học sinh kiên trì mới thực hiện được

Đồng ý một điều, cả ba câu khó nhất trong kỳ thi tuyển sinh đại học rơi vào chương trình lớp 10. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, hệ phương trình và bất đẳng thức đều nẳm ở chương trình này cả. Mỗi câu lại đặt nặng nề vào đó mỗi kiểu khác nhau.

Đối với hệ phương trình, ở lớp 10 chúng ta chỉ loanh quanh ở những hệ phương trình dễ nhìn và dễ giải quyết. Nào là hệ phương trình đối xứng loại I, hệ phương trình đối xứng loại II, hệ phương trình có một phương trình bậc nhất và bậc hai,  hệ phương trình đẳng cấp bậc hai-bậc ba. Nhưng ở đây, hệ phương trình trong những kỳ thi tuyển sinh đại học là hoàn toàn khác. Họ gần như không đã đụng đến những hệ phương trình như thế này bao giờ. Có chăng đi nữa thì xuất hiện đoạn sau khi mà chúng ta hoàn thiện. Như vậy thì những kiến thức xem như không có tác dụng gì khi đi thi cả. 

  Ví dụ đề thi tuyển sinh đại học khối B-2014

 Và đây là cách giải đề thi tuyển sinh đại học khối B-2014

Mọi thứ đâu chỉ dừng lại ở đó. Những phương pháp về phân tích đa thức thành nhân tử các em chỉ được học hồi cấp hai, phương pháp nhân thêm lượng liên hợp cũng vậy. Nhưng kết hợp vào đây cũng là một điều không tưởng. Mà trong thời gian trước tôi đã thực hiện riêng một Video tutorial về “Giải hệ phương trình bằng 8 cách khác nhau” để các em tham khảo. Do đó, tính chất khó của hệ phương trình càng được tăng lên nhiều khi chúng ta muốn chinh phục.

Lời kết: Tôi thực hiện bài đăng này để giúp chúng ta hiểu thêm được mức độ khó khăn khi giải loai toán này. Cũng giống như bài đăng về lượng giác vậy. Mỗi học sinh và giáo viên chúng ta cần biết luyện thi tuyển sinh đại học ở mức độ nào cho phù hợp với sức học và nguyện vọng của mỗi em. Theo tôi cũng không nên đem học lại những kiến thức về hệ phương trình mà các em học ở lớp 10. Mà muốn chinh phục câu này buộc chúng ta phải có cách nhìn nhận thấu đáo. Cũng có rất nhiều học sinh yêu cầu tôi không dạy phần này để tập trung những phần khác. Để đạt được hiệu quả mong muốn.