Tích phân hàm hữu tỉ-Cốt lõi của tích phân

Tại sao lại như vậy? Vì qua quá nhiều lần gặp trong quá trình biến đổi tích phân. Bản thân tôi nhận thấy như vậy và nhất là trong những kỳ thi tuyển sinh đại học gần đây có xu hướng càng dễ. Khi đó nó sẽ hướng về những tích phân hàm hữu tỉ đơn thuần.

Trước đây, tích phân có rất nhiều dạng cần phải biến đổi từ nhiều bài toán hay. Nhưng trong kỳ tuyển sinh đại học 2014 vừa rồi ở khối B lại đưa cho chúng ta một câu tích phân hữu tỉ chỉ đơn thuần. Việc tính toán nó không gì có thể dễ dàng hơn. Có thể nói nó dễ nhất trong những đề thi tuyển sinh đại học từ trước đến nay. 

Cũng nhắc lại, tích phân hữu tỉ là loại tích phân của hàm phân thức sơ cấp. Nghĩa là tích phân của những hàm số phân số mà tử và mẫu của nó là những hàm số sơ cấp(Bậc một, bậc hai, bậc ba…). Mà không có sự xuất hiện của những hàm số siêu việt(bao gồm hàm mũ, lô-ga-rít, lượng giác). Do đó việc tính những tích phân loại này được xem như khá đơn giản. Trước khi tính toán bước tiếp theo thì bước đầu tiên ta phải quan sát và so sánh bậc của tử và bậc của mẫu. Nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì ta tiến hành chia đa thức để được một phân thức. Trong đó có bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu.

Nó sẽ đưa cho chúng ta một phân số thỏa mãn điều kiện trên với mẫu chỉ là nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai thuần túy. 

Đối với mẫu là nhị thức bậc nhất thì ta chỉ việc áp dụng ngay công thức tích phân mở rộng

Nếu mẫu là tam thức bậc hai thì ta cũng thực hiện chia thành ba trường hợp. Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt, Tam thức bậc hai có nghiệm kép và Tam thức bậc hai vô nghiệm.

Đối với mẫu là tam thức bậc hai có hai nghiệm ta thực hiện đồng nhất thức. Mà trên Xuctu.com và trên những Video tutorial của thầy trên kênh http://www.youtube.com/user/quoctuansp đã thực hiện khá đầy đủ loại này.

Còn đối với mẫu là tam thức bậc hai có nghiệm kép thì ta đưa nó về loại tích phân 

 

Cuối cùng đối với mẫu là tam thức bậc hai vô nghiệm thì ta tiến hành đưa nó thành tích phần hàm lượng giác. Nhưng dạng này rất hiếm gặp trong 10 năm gần đây. Thầy sẽ thực hiện một bài đăng riêng ở sau này.

Trên đó là những phương pháp để tính tích phân đơn giản loại này mà thầy nhắc lại cho tất cả chúng ta để tính tích phân hữu tỉ. Quay trở lại tại sao loại tích phân này lại quan trong đến như vậy.

Tất nhiên kỳ thi tuyển sinh đại học cho khối D, Cao đẳng và tốt nghệp trung học phổ thông. Nếu ra loại này thì chỉ dừng ngang ở mức độ này thôi. Chớ không hơn nhiều lắm đâu. Nhưng đối với những kỳ thi tuyển sinh đại học các khối A, B thì trông có vẽ chúng ta phải biến đổi chút ít cho phù hợp. Và cuối cùng đa phần cũng phải quy về loại toán tích phân hữu tỉ này.

Tích phân hàm số vô tỉ (hàm có chứa căn thức), tích phân đổi biến chúng ta cũng phải đưa về tích phân hàm hữu tỉ.

Chẳng hạn: Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2012

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2004

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2003

Lời kết: Trên đây là những dẫn chứng để chúng ta có thể thấy được tầm quan trọng của tích phân hàm hữu tỉ. Nhất là trong tình trạng đề thi tuyển sinh đại học càng ngày càng hướng vào loại tích phân đơn giản này. Tất nhiên đối với những bài toán khó hơn chúng ta phải biết cách kết hợp những loại khác nhau để giải tích phân. Nó giúp các em học sinh thấy được vài phần để luyện thi tốt hơn trong kỳ tuyển sinh đại học 2015 này.

Chúc các em may mắn và thành công trong học tập.