Các Phương Pháp Suy Luận và Sáng Tạo trong Toán học-Phần 2

II. Tổng quát hoá:

Ngược với quá trình cụ thể hoá là tổng quát hoá. Ta gặp một vấn đề F(w₁, w₂,…, w_n) tại điểm các thông số đã là hằng nhất định. Giải xong vấn đề này, ta tiến đến tổng quát hoá chúng cho các thông số w_i bất định nằm trong giới hạn nào đó (ví dụ, ta xét tam giác ABC, vậy thông số góc A không thể nào >=180◦ và <=0 được)

Ta thử xét xem bài toán “Tháp Hà nội” như sau: “Có 3 đĩa để tiền A, B, C. Có một cọc 5 đồng tiền xu khác nhau về kích thước được chồng lên .nhau theo quy tắc nhỏ đè lên to nằm ở đĩa A. Được phép nhấc từng đồng xu đặt lên cả ba đĩa cũng theo nguyên tắc nhỏ trên to. Cần tối thiểu bao nhiêu lần nhấc để chuyển cọc tiền từ A sang B?”. Ta dễ thấy, bài toán có các thông số 3 đĩa, 5 đồng tiền và nhấc từng đồng xu.

Tổng quát hoá theo số đồng tiền, ta có bài toán sau: “Có 3 đĩa để tiền A, B, C. Có một cọc N đồng tiền xu khác nhau về kích thước được chồng lên nhau theo quy tắc nhỏ đè lên to nằm ở đĩa A. Được phép nhấc từng đồng xu đặt lên cả ba đĩa cũng theo nguyên tắc nhỏ trên to. Cần tối thiểu bao nhiêu lần nhấc để chuyển cọc tiền từ A sang B?”.

Hình4: Tháp Hà Nội

Tiến lên bước nữa chúng ta tổng quát hoá theo thông số “số cái đĩa” ta được bài toán sau:  “Có M đĩa để tiền A, B, C. Có một cọc N đồng tiền xu khác nhau về kích thước được chồng lên nhau theo quy tắc nhỏ đè lên to nằm ở đĩa A. Được phép nhấc từng đồng xu đặt lên cả ba đĩa cũng theo nguyên tắc nhỏ trên to. Cần tối thiểu bao nhiêu lần nhấc để chuyển cọc tiền từ A sang B?”.

Riêng trường hợp nhấc từng đồng xu nếu thay nếu thay bằng nhấc từng X đồng xu trên thực cũng giống như nhấc từng đồng xu nhưng lúc đấy N đồng xu không còn là N nữa mà =[N/X]. Nên ta không cần tổng quát hoá trường hợp này.

Ngay như trò chơi đơn giản mà ai ai trong chúng ta đều biết: “Có mười que diêm đặt thẳng theo một hàng ngang. Ta có thể nhấc một que diêm nhảy qua hai que khác để đặt vào nơi có diêm tiếp theo. Tìm cách chuyển diêm sao cho tạo được 5 chồng diêm mỗi chồng 2 cây diêm”. Bài này chỉ bằng vài cách thử đơn giản thì ai ai trong chúng ta đều có thể giải ra. Nhưng các bạn hãy cùng chúng tôi đặt bài toán khó hơn một chút: “Có Nm que diêm đặt thẳng theo một hàng ngang. Ta có thể nhấc một que diêm hay một chồng có số diêm <m nhảy qua m que khác để đặt vào nơi có diêm tiếp theo. Tìm cách chuyển diêm sao cho tạo được N chồng diêm mỗi chồng m cây diêm”. Bài này cũng có lời giải tổng quát. Chỉ cần một bài toán giản đơn, bằng tổng hợp hoá chúng ta có thể đưa ra bài toán phức tạp hơn. Và chính tổng quát hoá tạo cho chúng ta một động lực say mê, khám phá không ngừng những điều kỳ diệu của khoa học.

Khi học phổ thông, mỗi người trong chúng ta đều gặp vài chuyện ngộ nghĩnh như thế này: “Có anh bạn nhờ ta tìm, ví dụ:

Sau đấy một tuần, anh lại nhờ tìm đúng bài như vầy với số mũ là 4! Chắc các bạn đồng ý với chúng tôi, cách tốt nhất là bảo anh ta thử tìm lim cho cả bài toán tổng quát với số mũ n bất kỳ. Vì thực ra phương pháp cũng như vậy thôi”. Đúng thế, có những bài toán cách giải bài toán cụ thể và bài toán tổng quát giống nhau. Nhưng cách giải bài toán tổng quát tạo cho chúng ta cách nhìn logic hơn vấn đề và sẽ tốn ít thời gian hơn khi gặp một bài toán cụ thể dạng đấy.

Sau đấy một tuần, anh lại nhờ tìm đúng bài như vầy với số mũ là 4! Chắc các bạn đồng ý với chúng tôi, cách tốt nhất là bảo anh ta thử tìm lim cho cả bài toán tổng quát với số mũ n bất kỳ. Vì thực ra phương pháp cũng như vậy thôi”. Đúng thế, có những bài toán cách giải bài toán cụ thể và bài toán tổng quát giống nhau. Nhưng cách giải bài toán tổng quát tạo cho chúng ta cách nhìn logic hơn vấn đề và sẽ tốn ít thời gian hơn khi gặp một bài toán cụ thể dạng đấy.

Tổng quát hoá có thể gặp mọi nơi mọi chốn. Điều quan trọng, chúng ta có cần nó không? Chúng ta có chịu dũng cảm lao vào những vấn đề hóc búa không? Sự đơn giản và hạn chế của lý thuyết khuyên ta nên dừng lại ở vấn đề được đặt ra. Nhưng trí sáng tạo, lòng ham khám phá lại ve vãn chúng ta hãy hướng về trước, mở rộng vấn đề ra, tổng quát vấn đề. Để rồi một ngày nào đó ta được quyền reo lên Eurêka! Ví dụ, các bạn hẳn biết bài hình học này:

1. “Cho tam giác ABC. Phía ngoài tam giác dựng các tam giác đều A’BC, B’AC, C’AB. Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ đồng qui.”
Ai nấy đều nói “Bài này dễ.”. Được, ta hãy tổng quát hoá nó như sau:

2. “Cho tam giác ABC. Phía ngoài tam giác dựng các tam giác cân đồng dạng A’BC, B’AC, C’AB. Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ đồng qui.”. “Ôi, bài này khó nhưng dùng các phương pháp sơ cấp và chút mẹo là làm được.”. Đúng vậy, ta lại tiếp tục tổng quát hoá nó:

3. “Cho tam giác ABC. Phía ngoài tam giác dựng các tam giác đồng dạng A’BC, B’AC, C’AB. Với góc A’BC=góc C’AB=góc B’CA. Tìm điều kiện để AA’, BB’, CC’ đồng qui.”. Các bạn đã thấy khó chưa? Vậy, chúng ta thử tổng quát hoá nó nữa. Xin chú ý, mỗi điểm của tam giác có đường thắng đối mặt. Vậy thì sao nếu, đó không phải là đường thẳng. Bài toán như sau:

4. “Cho ba điểm ABC. Giữa các cạnh AB, BC, CA có một hàm sau f(AB), f(BC), f(CA). Bằng một phép biến đổi g trên f, ta được tương ứng các điểm A’, B’, C’. Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ đồng qui hay không đồng qui. Nếu không đồng qui thì điều kiện nào của f và g để chúng đồng qui”. Đến đây bạn thấy ngay bài toán đã trở thành vấn đề to tát rồi. Nhưng liệu ta tổng quát hoá hết chưa? Bạn hãy cùng tôi đặt thử câu hỏi:

5. “Tam giác thực chất là hình đa giác ba cạnh. Vì thế một điểm lại có một cạnh đối xứng. Vậy điều gì xảy ra nếu ta lấy hình ngũ giác, thất giác, cửu giác, hay 2n+1-giác.”. Đó chỉ là một chiều của tổng quát hoá. Liệu ta có thể tổng quá hoá theo chiều khác, tiến về không gian đa chiều hơn. Ví dụ:

6. “Cho tứ giác ABCD. Ở ngoài các tam giác biên ta dựng ở mỗi tam giác ba mặt phẳng sao cho các góc nghiêng của chúng với tam giác đó bằng nhau. Và chúng cắt nhau tại các điểm tương ứng A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’, DD’ đồng qui.”

7. Cứ tiếp tục như thế, bạn tiến tới có bài toán tương tự như vầy nhưng ở không gian đa chiều, đa  diện và các giới hạn là các hàm f và phép biến để lấy điểm đối xứng là g. Đến đây, chúng ta đã nhận ra từ bài toán dễ nếu biết tổng quát hoá thì sẽ nhận được những bài toán to tát và công trình nghiên cứu chúng ta không phải là vặt vãnh nữa mà đã là vấn đề khoa học lý thú.

Lịch sử Toán học đã cho ta thấy biết bao nhiêu trường hợp Tổng quát hoá độc đáo. Khi Ferma giải bài toán “Tìm nghiệm nguyên của phương trình x² + y² = z².”, ông đã nghĩ ra trường hợp tổng quát của nó. Ông đi tìm nghiệm nguyên của xⁿ + yⁿ = zⁿ. Ferma đã viết là tìm ra được lời giải, bài toán không có nghiệm nguyên với mọi n>=3. Nhưng vì lề sách của ông hẹp nên ông không dẫn ra. Không biết Ferma đã giải bằng cách nào, nhưng ông đã sáng tạo ra phương pháp đại lượng giảm dần để chứng minh cho bài toán với n=4.  Đi xa hơn, nhà toán học thiên tài Euler đã đưa ra giả thuyết “phương trình x₁^m + x₂^m + … + x_n^m= y^m (*) không có nghiệm nguyên với n>=2, m>n”.. Nhưng năm 1966 Leon Lander và Thomas Parking đã bằng máy tính tìm ra nghiệm: 27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵. Đến năm 1988, Noam David Elkies-giáo sư Đại học Harvard đã tìm ra nghiệm của phương trình với n=3, m=4: 2682440⁴ + 15365639⁴ + 187960⁴ = 20615673⁴. Và giả thuyết Euler sụp đổ. Nhưng nó đã sụp đổ hoàn toàn chăng? Vậy ta đặt lại bài toán “Tìm nghiệm nguyên x_i, nguyên dương n,m của (*) với n>=2, m>n.”. Bài toán này há chẳng phải quá ư là hóc búa chăng? Năm 1900, tại một hội nghị toán học, Hilbert đã đặt ra 23 bài toán chưa giải được và bài toán số 10 có thể được coi là tổng quát hoá của các phương trình nghiệm nguyên: “Có tồn tại một algorith hữu hạn nào để tìm ra nghiệm nguyên hoặc khẳng định không có nghiệm nguyên của một phương trình Diophantie.”. Năm 1995, sau 358 năm miệt mài tìm kiếm của giới Toán học, hai nhà toán học Andrew Wiles và Richard Taylor đã chứng minh thành công định lý Ferma vĩ đại. Còn tháng 10.2001, nhóm các nhà khoa học(gồm những nhà Vật lý và Toán học, lập trình viên) Úc dưới sự lãnh đạo của Giáo sư gốc Việt Kiều Tiến Dũng đã đăng những công trình đầu tiên chứng minh có một algorith hữu hạn để giải bài toán 10 Hilbert, nếu như có một máy tính lượng tử. Trước đó, có một nghiên cứu sinh Toán người Nga Matkievich đã chứng minh bằng Toán sơ cấp không thể tồn tại một algorith như thế. Kỳ diệu quá phải không các bạn?. Khoa học đã chứng kiến bao nhiêu lần tự phủ nhận như thế nhờ những ý tưởng táo bạo của các nhà nguyên cứu. Nào là hình học Lobasepsky và Euclide, lý thuyết tương đối Einstein, lý thuyết lượng tử và vật lý học Newton. Đến bây giờ là những công trình về computer lượng tử (ngoài công trình của nhóm GS Kiều Tiến Dũng, còn có công trình của nhóm New Zealand).

Từ khi chập chững làm quen với môn hoá, mỗi người trong chúng ta đều làm quen với Bảng tuần hoàn các Nguyên tố Mendeleev. Theo đà phát triển của hoá học, các nguyên tố phát hiện ra ngày càng nhiều. Và các nhà khoa học đã tự hỏi: “Các nguyên tố được sắp xếp như thế nào? Làm sao có thể hệ thống hoá chúng? Tìm một phương pháp tổng quát, để khi gặp một nguyên tố bất kỳ ta có thể sắp xếp ngay nó vào nhóm nào và dự đoán tính chất hoá học chúng chính xác?”. Hay nói cách khác, các nhà Hoá học đã tổng quát hoá bài toán tính chất hoá học của nguyên tố theo số thứ tự hay số electron của nó. Và đến tháng 8-1869, nhà bác học người Nga Dmitrie Mendeleev đã tìm ra bảng tuần hoàn các nguyên tố (lúc đó chỉ có 63 nguyên tố). Thế nhưng, kể cả những tiến bộ của khoa học bây giờ, những câu hỏi có tính tổng quát vẫn mang tính thời sự: “Làm sao có thể tính toán độ âm điện của các nguyên tố hay là độ mạnh của các kim loại và á kim?. Dựa trên hai yếu tố số electron và khối lượng nguyên tố.” hoặc “Phương pháp nào cho phép dự đoán kết quả phản ứng khi ta cho chất A vào chất B trong môi trường C?”. Tất cả những kết quả có được hầu hết bằng thực nghiệm và có nhiều lý thuyết lý giải chúng, nhưng chưa có lý thuyết nào giải thích thành công một cách tổng quát và gần với thực nghiệm nhất.

 Đúc Kết

• Tổng quát hoá đưa chúng ta đến những vấn đề lớn hơn. Kích thích sự ham mê khám phá của chúng ta.
• Giúp chúng ta có cách nhìn vấn đề tổng thể hơn. Và nhanh chóng nhận ra cách áp dụng cho trường hợp cụ thể nào đó.

Ngay khi vấn đề tổng quát quá khó, nhưng nó là một mãnh đất màu mỡ cho chúng ta khai thác, nghiên cứu tìm tòi. Kể cả khi giải quyết một phần của nó cũng là thành công. Vị dưng, khoa học đòi hỏi sự khám phá bền bỉ và quá trình lao động cần cù, miệt mài của nhiều năm tháng.